I9387: Clase 2

.title[
# I9387: Clase 2
]
.subtitle[
## Modelo ricardiano (autarquía)
]
.author[
### Emmanuel Anguiano
]
.date[
### Otoño 2025
]

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# Prólogo

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# ¿Por qué comercian los países?

* **Teorías viejas**:

- Ricardo: Diferencias en la tecnología de los países (Ventaja compartiva).
  - Hecksher-Ohlin: La especialización depende de las diferencias en dotaciones de factores productivos.
  
--

* **Teorías nuevas**:

- Armington: Las personas prefieren consumir bienes extranjeros. 
  - Competencia monopolística: Gusto por la variedad (Paul Krugman).
  - Economías de escala: Es más barato producir todo en un solo país (Melitz).

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# Ventaja comparativa

* El modelo ricardiano del comercio utiliza los conceptos de .hi-pink[ventaja comparativa] y .hi-blue[costo de oportunidad].

* El .hi-blue[costo de oportunidad] de producir un bien mide el costo de renunciar a producir otra cosa con los mismos recursos.

<img src="figures/Negative_Opportunity_Cost.jpg" width="60%" style="display: block; margin: auto;" />
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class: inverse, middle

# Modelo ricardiano (1 factor)

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# Supuestos del modelo

1. .hi-pink[Mercados (bienes y factores)]: Competencia perfecta.

2. El factor __trabajo__ es homogéneo y no específico (sectores).

3. Los trabajadores pueden moverse libremente entre sectores en los mercados domésticos pero .hi-red[no hay migración]. 🚩

4. La producción de los bienes requiere cantidades distintas de trabajo: 
  - __Un solo factor__. 
  - El .hi-pink[producto marginal del trabajo] es constante. 
  
--

5. No existen barreras al comercio ni .hi-pink[costos de transacción].

6. La tecnología es constante en cada país.

7. Las dotaciones de factores son __fijas__ (`$\bar{L}$`).

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# Configuración del modelo

* Imagina 2 países: .hi-blue[Doméstico] y .hi-red[Extranjero].

* Cada país puede producir dos bienes: .hi-blue[botellas de vino (x)] y .hi-red[queso (y)].

* La oferta de trabajo en cada país es fija: 
  -  `$\color{blue}{\bar{L}}$` para el país doméstico y `$\color{red}{\bar{L}}$` para el extranjero. 
  
--

* Definamos: 
  - `$\color{blue}{l_{x}}$`: la cantidad de trabajo .hi-pink[necesaria] para elaborar una botella de __vino__. 
  - `$\color{red}{l_{y}}$`: la cantidad de trabajo .hi-pink[necesaria] para elaborar un pieza de __queso__.

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# Modelo para el país doméstico

* El conjunto de producción .hi-blue[Doméstico] y la posible asignación total de trabajadores en cada país se representa por:

- `$l_{x} x + l_{y} y \leq \bar{L}$`
  
--

* Para encontrar la .hi-pink[Frontera de Posibilidades de Producción (FPP)] supongamos que la oferta y demanda de trabajo son iguales:

- `$l_{x}x + l_{y}y = L$`
  
  
--

- `$y = \frac{L}{l_y} - \frac{l_{x}}{l_{y}} x$`
  
--

* intercepto en `$y$`: `$\frac{L}{l_y}$` (producción máxima en `$y$`).
* intercepto en `$x$`: `$\frac{L}{l_x}$` (producción máxima en `$x$`).

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# Modelo para el país doméstico

<img src="02-ricardian_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.svg" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
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# Entendiendo el intercambio

* __Pendiente__ de la FPP: .hi-pink[Tasa Marginal de Transformación (TMT)].

* La TMT es la tasa a la que el mercado (.hi-blue[doméstico]) valora el intercambio entre los bienes `$x$` e `$y$`.
  
* El .hi-purple[precio relativo] de `$x$` (en términos de `$y$`) o, el costo de oportunidad de `$x$`]

.column[
<img src="02-ricardian_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.svg" width="140%" style="display: block; margin: auto;" />
]

]

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# Ventaja absoluta (Adam Smith)

.column[
* Decimos que un país tiene .hi-purple[ventaja absoulta] si requiere de menos trabajadores para producir (una unidad) de un bien.

* .hi-green[Ejemplo]:

- Si `$\color{blue}{l_{x}} < \color{red}{l_{x}}$`, entonces el país .hi-blue[doméstico] tiene una ventaja absoluta en producir `$x$`. 
 - Si `$\color{blue}{l_{y}} > \color{red}{l_{y}}$`, entonces el país .hi-red[extranjero] tiene una ventaja absoluta en producir `$y$`. ]
 
.column[
<img src="figures/Adam_smith.jpg" width="120%" height="200%" style="display: block; margin: auto;" />

]

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# Ventaja comparativa (Ricardo)

.column[
* Un país tiene .hi-pink[ventaja comparativa] en producir un bien, si el **costo de oportunidad** de producir dicho bien _es menor_ en comparación con el de otros países.

* .hi-green[Ejemplo]:

- Si `$\color{blue}{\frac{l_{x}}{l_{y}}} < \color{red}{\frac{l_x}{l_y}}$`, entonces el país .hi-blue[doméstico] tiene ventaja comparativa en producir `$x$`.
 - Si `$\color{blue}{\frac{l_{x}}{l_{y}}} > \color{red}{\frac{l_x}{l_y}}$`, entonces el país .hi-red[extranjero] tiene ventaja comparativa en producir `$y$`.]
 
.column[
<img src="figures/David_ricardo.jpg" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />

]

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# Ideas sobre la ventaja comparativa

* Pendiente de la FPP = **Costo de oportunidad** del bien `$x$` (cantidad de `$y$` que se entrega por 1 de `$x$`)

* Si los países tienen diferentes pendientes en sus FPP, tienen diferentes costos de oportunidad (¡Comerciar!).

* Un país con .hi-pink[pendiente más suave (menor magnitud)] tiene un .hi-pink[menor costo de oportunidad de x] (o un mayor costo de y), lo que implica una **ventaja comparativa en x**.

* Un país con .hi-purple[pendiente más pronunciada (mayor magnitud)] tiene un .hi-pink[mayor costo de oportunidad de x (o un menor costo de y)], lo que implica una **ventaja comparativa en y**.

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# Ejemplo modelo ricardiano (1-factor)

.column.bg-lightgreen[

**.green[Ejemplo]**. Supongamos lo siguiente:

* El país .hi-blue[doméstico] tiene 100 trabajadores. 
  - Requiere 1 trabajador para producir `$\color{red}{x}$`. 
  - Requiere 2 trabajadores para producir `$\color{blue}{y}$`
  
* El país .hi-red[extranjero] tiene 100 trabajadores. 
  - Requiere 1 trabajador para producir `$\color{red}{x}$`.
  - Requiere 4 trabajadores para producir `$\color{blue}{y}$`
]

1. Para cada país, encuentra la ecuación de su FPP y grafícala.

1. ¿Qué país tiene **ventaja absoluta** en producir `$x$` e `$y$`?

1. ¿Qué país tiene **ventaja comparativa** en producir `$x$` e `$y$`?
]

]

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# Solución

`$$\begin{align*}
  l_x x + l_y y &= L \\
  1 x + 2y &= 100 \\
  2y &= 100 - x \\
  y &= 50 - 0.5x 
\end{align*}$$`

]

`$$\begin{align*}
  l_x x + l_y y &= L \\
  1 x + 4y &= 100 \\
  4y &= 100 - x \\
  y &= 25 - 0.25x 
\end{align*}$$`

<img src="02-ricardian_files/figure-html/unnamed-chunk-8-1.svg" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

]

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# Ventaja comparativa y precios relativos de autarquía

* Hasta ahora suponemos que los países están en .hi-pink[autarquía], es decir que no comercian entre sí.

* Para encontrar la .hi-pink[ventaja comparativa] para cada país, necesitamos calcular su .hi-purple[costo de oportunidad] de producir cada bien en cada país (i.e. .hi-pink[precio relativo en autarquía])

* Un país con un .hi-turquoise[precio relativo de autarquía más bajo] tiene una ventaja comparativa en producir dicho bien.

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# Ejemplo: Ventaja comparativa

- Precio relativo de autarquía de `$\color{red}{x}$`: `$0.5\color{blue}{y}$` [Pendiente de la FPP].

- Precio relativo de autarquía de `$\color{blue}{y}$`: `$2\color{red}{x}$`

]

- Precio relativo de autarquía de `$\color{red}{x}$`: `$0.25\color{blue}{y}$` [Pendiente de la FPP].

- Precio relativo de autarquía de `$\color{blue}{y}$`: `$4\color{red}{x}$`
]
]

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# Ejemplo: Ventaja comparativa
.pull-left[
.center[
Precios relativos de autarquía (Costos de oportunidad)
]

|  País  | .pink[1x] | .purple[1y] |
|----|-----:|--------:|
| .blue[Doméstico] | 0.5y | **2x** |
| .red[Extranjero] | **0.25y** | 4x |
]

- El país .blue[Doméstico] tiene ventaja comparativa en producir .blue[y]

- El .red[Extranjero] tiene ventaja comparativa en producir .red[x]

]

---
# Ejemplo: Apertura comercial

|   País | .pink[1x] | .purple[1y] |
|----|-----:|--------:|
| .blue[Doméstico] | 0.5y | **2x** |
| .red[Extranjero] | **0.25y** | 4x |
]

- Supongamos que ahora los países se abren para comerciar entre sí.

- Hasta aquí, hemos considerado los precios relativos en .hi-pink[autarquía].

- Procedamos a ver que sucede con los precios relativos cuando los países se abren al .hi-pink[comercio internacional].]

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# Ejemplo: Apertura comercial

|   País | .pink[1x] | .blue[1y] |
|----|-----:|--------:|
| .blue[Doméstico] | 0.5y | **2x** |
| .red[Extranjero] | **0.25y** | 4x |
]

Aquí vamos a omitir algunos detalles importantes:

* Ricardo supone una .hi-pink[teoría del valor-trabajo] y que el producto marginal del trabajo es **constante**.

* Hasta ahora no hemos dicho nada del `$PmgL$` para simplificar el análisis.

* También estamos en un intercambio directo (trueque) de bienes; aquí no hay dinero.]

---

# Ejemplo: Apertura comercial

|   País | .pink[1x] | .purple[1y] |
|----|-----:|--------:|
| .blue[Doméstico] | 0.5y | **2x** |
| .red[Extranjero] | **0.25y** | 4x |
]

.pull-right[
.smaller[
- .blue[**Doméstico**]:
 - Comprar .pink[x] si `$p_x < 0.5y$`
 - Vender .purple[y] si `$p_y > 2x$`

- El precio de autarquía de .purple[y]:
  - En país .blue[Doméstico]: 2x
  - En .red[Extranjero]: 4x

- El país .blue[Doméstico] puede exportar  el bien.purple[**y**] al .red[Extranjero] y vender a un precio ¡más alto!
  - Todo .blue[L] en país .blue[Doméstico] se moverá a la industria (que paga salarios más altos) elaborando el bien .purple[**y**]
]
]
---

# Ejemplo: Apertura comercial

|  País  | .pink[1x] | .purple[1y] |
|----|-----:|--------:|
| .blue[Doméstico] | 0.5y | **2x** |
| .red[Extranjero] | **0.25y** | 4x |
]

.pull-right[
.smaller[
- El país .red[**Extranjero**] :
 - Venderá .pink[x] si `$p_x > 0.25y$`
 - Comprará .purple[y] si `$p_y < 4x$`

- El precio de autarquía de .pink[x]:
  - En país .blue[Doméstico]: 0.5y
  - En el .red[Extranjero]: 0.25y

- El país .red[Extranjero] puede exportar .pink[**x**] al país .blue[doméstico] y vender a un precio ¡más alto!
  - Todo .red[L] en el .red[Extranjero] se moverá a la industria que elabora .pink[**x**]  (paga salarios más altos) 
]
]
---

# Ejemplo: Apertura comercial

| País   | .pink[1x] | .purple[1y] |
|----|-----:|--------:|
| .blue[Doméstico] | 0.5y | **2x** |
| .red[Extranjero] | **0.25y** | 4x |
]

Posible rango de .hi-pink[precios relativos **mundiales**]:

`$$\color{purple}{0.25y} < \color{magenta}{p_x} < \color{purple}{0.5 y}$$`

`$$\color{magenta}{2x} < \color{purple}{p_y} < \color{magenta}{4x}$$`
]

---

# Ejemplo: Especialización

### .hi-blue[Doméstico]

El país .hi-blue[Doméstico] se especializará en producir únicamente el bien .hi-blue[**y**] en el punto A
]

### .hi-red[Extranjero]

El .hi-red[Extranjero] se especializará en producir únicamente el bien .pink[**x**] en el punto A'.
]

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# Ajuste en precios debido al comercio

- El país .hi-blue[Doméstico] exportará el bien .purple[**y**] `$\implies$` vende *menos* .purple[y] en  país .hi-blue[Doméstico] `$\implies$` `$\uparrow p_y$` en .hi-blue[Doméstico]

- Cuando el bien .purple[**y**] llega al país .hi-red[Extranjero] `$\implies$` existe *más* .purple[y] en el mercado .hi-red[Extranjero] `$\implies$` `$\downarrow p_y$` en el .hi-red[Extranjero]

- El país .red[Extranjero] exportará más de .pink[x] `$\implies$` se vende *menos* .pink[x] en el .red[Extranjero] `$\implies$` `$\uparrow p_x$` en el .red[Extranjero]

- Cuando .pink[x] llega al país .hi-blue[Doméstico] `$\implies$` existe *más* .pink[x] en el país .hi-blue[Doméstico] `$\implies$` `$\downarrow p_x$` en .hi-blue[Doméstico]

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# Precios relativos mundiales

* En el .hi-turquoise[equilibrio con comercio internacional], los precios relativos se ajustarán hasta **igualarse** entre ambos países:

`$$\frac{p_x^{\star}}{p_y^{\star}} = \frac{p_x}{p_y} = \frac{p_x'}{p_y'}$$`

* Debe ubicarse dentro de un rango que sea aceptable para ambas partes:

`$$\color{purple}{0.25y} < \color{magenta}{p_x} < \color{purple}{0.5 y}$$`
`$$\color{magenta}{2x} < \color{purple}{p_y} < \color{magenta}{4x}$$`

* .hi-turquoise[Supongamos que el precio relativo mundial] se fija en:

`$$\frac{p_x^{\star}}{p_y^{\star}} = 0.4 y$$`

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# Precios relativos mundiales

### .hi-blue[Doméstico]

]

### .hi-red[Extranjero]

]

El precio relativo mundial de x: `$\frac{p_x^{\star}}{p_y^{\star}}=0.4y$`

Ambos países enfrentan la misma .hi[tasa de cambio internacional] con pendiente `$= -0.4$`

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# Triangulos comerciales

### .hi-blue[Doméstico]

El país .blue[Doméstico] exportará .purple[20y] al .red[Extranjero]

]

### .hi-red[Extranjero]

]

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# Triángulos comerciales

### .hi-blue[Doméstico]

El país .blue[Doméstico] exporta .purple[20y] al .red[Extranjero]

]

### .hi-red[Extranjero]

<img src="02-ricardian_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.svg" style="display: block; margin: auto;" />
El país .red[Extranjero] exporta .pink[50x] al país .blue[Doméstico]

]

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# Triángulos comerciales

### .hi-blue[Doméstico]

]

### .hi-red[Extranjero]

]

Comercio a lo largo del **tipo de cambio mundial** (precios relativos mundiales) desde los puntos de especialización (A y A') hasta los puntos de consumo (B y B'), ¡más allá de las FPP!

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# Introducción

**Supuestos básico del modelo**

* Dos bienes, dos países.

* Un factor de producción (`$\bar{L}$`).

* Diferencias en tecnología: costo relativo del trabajo (PmgL).

**¿Qué nos hace falta?**

* No hemos especificado las preferencias (Demanda por cada bien).

* Derivar el equilibrio algebráico del modelo (¡Hasta ahora solo fue gráfico! 📈)

* Separar el problema del consumidor y el del productor.

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# Solución de modelos competitivos

1. Especificar agentes: Consumidores, productores, ocasionalmente gobierno.

1. Definir el problema de optimización para cada agente.

1. Establecer restricciones globales. Vaciado de los mercados.

1. Resolver el equilibrio competitivo.

**¿Qué es un equilibrio competitivo?**

- Precios y asignaciones tales que todos los agentes estén satisfechos con sus elecciones, dadas las elecciones de los otros agentes.

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# Preferencias del consumidor

* La literatura sobre las preferencias es amplia. Aquí vamos a ignorar como se definen y suponemos una forma funcional específica para la función de utilidad.

* Para los consumidores: 
  - Mayor nivel de utilidad (ordinal) = Mejor 👍🏾
  - Mismo nivel de utilidad = Indiferente 🤔
  
--

**Propiedades de las funciones de utilidad**

* Monótonas: Más de todo es mejor que menos de todo.

* Transitivas: A es mejor que B y B es mejor que C `$\implies$` A es mejor que C.

* Completas: Es posible calcular el valor de la función de utilidad para todas las asignaciones posibles.

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# Ejemplo: Función de utilidad

Supongamos que existen dos bienes: `$c_1$` es el bien de consumo 1, `$c_2$` es el bien de consumo 2.

* Función de utilidad de tipo **Cobb-Douglas**:

`$$U(c_1, c_2) = (c_1)^{\theta_{1}} (c_2)^{\theta_{2}}$$`

Supongamos que `$\theta_1 = \theta_2 = 0.5$`. ¿Cuál será la elección óptima del consumidor `$(c_1, c_2) = (1,2)$` ó `$(1.5, 1.5)$`?

`$$\begin{align*}
 U(1,2) &= (1)^{0.5} \times (2)^{0.5} \approx 1.41 \\
 U(1.5, 1.5) &= (1.5)^{0.5} \times (1.5)^{0.5} \approx  1.5
\end{align*}$$`

`$U(1.5, 1.5) > U(1,2) \implies$` el consumidor prefiere la segunda asignación.

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# Ejemplo: Función de utilidad

Supongamos que existen dos bienes: `$c_1$` es el bien de consumo 1, `$c_2$` es el bien de consumo 2.

* Función de utilidad de tipo **Cobb-Douglas**:

`$$U(c_1, c_2) = (c_1)^{\theta_{1}} (c_2)^{\theta_{2}}$$`
.red[Importante]: La utilidad no tiene unidades naturales. Nos importa la **utilidad relativa**

* Las transformaciones que preservan el orden se consideran funciones de utilidad equivalentes.

* Transformaciones comunes que preservan el orden: Adición, multiplicación, potencia, logaritmos, etc.

**Ejemplo**: Tomar logaritmos a función de utilidad

`$$\tilde{U}(c_1, c_2) = \theta_{1} \log c_{1} + \theta_{2} \log c_{2}$$`

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# Problema del consumidor

El problema del consumidor consiste en .red[maximizar] su función de utilidad sujeto a una .blue[restricción presupuestal].

**Restricción presupuestal**

* Sin esta restricción los consumidores quisieran consumir una cantidad infinita de todo.

* La restricción presupuestaria forza a que el gasto del consumidor sea menor a su ingreso.

* En los modelos estáticos suponemos que **no** existen los préstamos ni el ahorro.

**Gasto de consumo**: suma de los gastos (= precio `$\times$` cantidad) de todos los bienes.

**Fuentes de ingreso**: Ingreso laboral (salario `$\times$` trabajo ofertado (horas)).

Otras fuentes potenciales: renta del capital, ganancias de las empresas, impuestos del gobierno.

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# Problema del consumidor

Dados los precios `${p_1, p_2, w}$`, el consumidor elegirá consumir `${c_1,c_2}$` para **Maximizar su utilidad**:

`$$\begin{align*}
 \max_{c_1, c_2} \quad & U(c_1, c_2) \\
 \text{sujeto a} \quad & p_{1}c_{1} + p_{2}c_{2} \leq wL
\end{align*}$$`

--
Adicionalmente, utilizamos una restricción de no-negatividad:

`$$c_{1}\geq 0; c_{2}\geq 0$$`
En adelante, omitiremos esta restricción por simplicidad.

---

# Problema del consumidor

Dados los precios `${p_1, p_2, w}$`, el consumidor elegirá consumir `${c_1,c_2}$` para **Maximizar su utilidad**:

`$$\begin{align*}
 \max_{c_1, c_2} \quad & U(c_1, c_2) \\
 \text{sujeto a} \quad & p_{1}c_{1} + p_{2}c_{2} \leq wL
\end{align*}$$`

**Nota 1**: Al resolver el problema debemos suponer una forma funcional para la función de utilidad.

**Nota 2**: Los consumidores no eligen como asignar su fuerza de trabajo entre el bien 1 y el 2. Simplemente ofrecen su fuerza de trabajo.

Las empresas que contratan la mano de obra determinan la cantidad de trabajadores en cada sector (los salarios deben igualarse en ambas industrias).

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# Problema de las empresas

En el modelo ricardiano suponemos que las empresas son **perfectamente competitivas**.

* Esto significa que no hay ganancias extraordinarias y que las empresas no tienen poder de mercado (tomadoras de precio).

Suponemos que todas las empresas de un mismo país tienen la misma tecnología de producción para un bien determinado:

- Normalmente suponemos **rendimientos constantes a escala (RCE)**: duplicar insumos `$\implies$` duplicar productos.

- La tecnología de producción es diferente entre bienes, no entre empresas.

- Por simplicidad, suponemos que las empresas producen un solo bien.

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# Funciones de producción

* Las funciones de producción especifican como se transforman los insumos en productos.

* Ejemplo de la función de producción de tipo Cobb-Douglas:

$$ Y = f(K, L) = AK^{\theta}L^{1-\theta}$$

Donde `$Y$` es la producción, `$f(K,L)$` es la función de producción, `$A$` es la PTF, `$K$` es capital y `$L$` es trabajo. `$\theta \in [0,1]$`.

Por ahora, supongamos que solo existe el factor trabajo. Caso especial cuando `$\theta = 0$`.

`$$y_{m} = z_{m}L_{m}$$`
Donde `$y_{m}$` es la producción del bien `$m$`, `$l_{m}$` es la cantidad de trabajo utilizada para producir el bien `$m$`, y `$z_m$` es la productividad del trabajo.

.red[Recordatorio:] `$a_{m}=\frac{1}{z_m}$` (costo laboral unitario es recíproco de la productividad)

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# Problema de optimización de las empresas

Las empresas **maximizan sus beneficios**. Los beneficios son iguales a las ganancias menos los costos.

La empresa que produce el bien `$m$` resuelve:

`$$\begin{align*}
 \max_{y_m, l_m} \quad & p_{m} y_{m} - w_{m} l_{m}\\
 \text{sujeto a} \quad & y_{m} = \frac{1}{a_m}l_m 
\end{align*}$$`

(No hay beneficios en equilibrio, pero es irrelevante para el problema de la empresa en este momento)

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# Condición de vaciado de mercados

La última parte del problema es especificar las condiciones de vaciado de los mercados.

**Vaciado del mercado de trabajo**: Demanda de trabajo = Oferta de trabajo (en cada país).

`$$\begin{align*}
l_{1}^{D}+l_{2}^{D}&=\bar{L^{D}}\\
l_{1}^{E}+l_{2}^{E}&=\bar{L^{E}}
\end{align*}$$`

**Vaciado del mercado de bienes**: La producción de cada producto = consumo de cada producto.

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# Vaciado de mercados: Autarquía

En autarquía, el vaciado de los mercados domésticos implica que se consuma todo lo que se produce a nivel local:

`$$\begin{align*}
c_{1}^{D} = y_{1}^{D} \\
c_{2}^{D} = y_{2}^{D}
\end{align*}$$`

Lo que suceda en el extranjero es **irrelevante** para el equilibrio doméstico.

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# Vaciado de mercados: Libre comercio

En libre comercio, los países no necesariamente consumen únicamente lo que producen:

`$$\begin{align*}
c_{1}^{D} + c_{1}^{E}  = y_{1}^{D} + y_{1}^{E}\\
c_{2}^{D} + c_{2}^{F} = y_{2}^{D} + y_{2}^{E}
\end{align*}$$`

* Los países expanden sus posibilidades de consumo mediante el intercambio.

* Mantenemos el supuesto de que **todo** lo que se .hi-red[produce] se .hi-green[consume].

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# Definición del equilibrio 
La solución de los problemas de optimización nos llevará a  los precios de equilibrio `${p_1, p_2}$`, salarios `${w_D, w_E}$`, y asignaciones `${C^{i}, Y^{i}}_{i\in [D,E]}$` tales que:

1. Los consumidores maximizan su utilidad 🙋🏾‍♂️

1. Las empresas maximizan sus beneficios 👩🏾‍💼

1. Los mercados se vacían.

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# Variables exógenas vs endógenas

Cuando trabajamos con modelos es importante que distingamos claramente la diferencia entre las variables exógenas y endógenas.

* Las variables **exógenas** son parámetros que se determinan por fuera del modelo.
  - Parámetros sobre la productividad, preferencias, oferta de trabajo. 
  
* Las variables **endógenas** son parámetros que se determinan por el modelo en equilibrio: 
  - Salarios y precios, asignaciones de trabajo y consumo entre industrias/bienes. 
  - Resultados de equilibrio para las variables endógenas dependen de los parámetros exógenos. .red[Lo contrario no es verdad]. 
  - Parámetros exógenos `$\neq$` arbitrarios. Pueden estimarse usando datos.

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class: inverse, middle

---
# Solución: Problema del consumidor

El consumidor debe resolver el siguiente problema de optimización:

`$$\begin{align*}
 \max_{c_1, c_2} \quad & U(c_1, c_2) = \theta_{1}\log c_{1}+ \theta_{2} \log c_{2} \\
 \text{sujeto a} \quad & p_{1}c_{1} + p_{2}c_{2} =   wL
\end{align*}$$`

* Este problema de optimización con restricciones puede resolverse utilizando el **método lagrangiano**.

* Buscamos la curva de indiferencia (CI) que es tangente a la recta presupuestaria.

* Las CI están dadas por la siguiente función:

`$$c_2 = \exp[(U-\theta_{1}\log c_{1})/\theta_{2}]$$`

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# Problema del consumidor: Gráficamente
<img src="02-ricardian_files/figure-html/unnamed-chunk-21-1.svg" style="display: block; margin: auto;" />

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# Método lagrangiano

Si queremos maximizar  la función `$f(x,y)$` sujeto a `$g(x,y) = 0$`, el Lagrangiano es: 
`$$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$$`

Donde `$\lambda$` se define como el **multiplicador lagrangiano**.

Podemos resolver el problema de maximización encontrando los valores de `${x,y,\lambda}$` que resuelvan el siguiente sistema de .red[Condiciones de Primer Orden (CPO)]:

`$$\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{L}(x,y,\lambda)}{\partial x} &= 0\\
\frac{\partial \mathcal{L}(x,y,\lambda)}{\partial y} &=0 \\
\frac{\partial \mathcal{L}(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} &=0  
\end{align*}$$`

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# Método lagrangiano

Si queremos maximizar  la función `$f(x,y)$` sujeto a `$g(x,y) = 0$`, el Lagrangiano es: 
`$$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$$`

Donde `$\lambda$` se define como el **multiplicador lagrangiano**.

Podemos resolver el problema de maximización encontrando los valores de `${x,y,\lambda}$` que resuelvan el siguiente sistema de .red[Condiciones de Primer Orden (CPO)]:

`$$\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{L}(x,y,\lambda)}{\partial x} = 0 &\implies \color{red}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g(x,y)}{\partial x} = 0} \\
\frac{\partial \mathcal{L}(x,y,\lambda)}{\partial y} = 0 &\implies \color{red}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} + \lambda \frac{\partial g(x,y)}{\partial y} = 0} \\
\frac{\partial \mathcal{L}(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} = 0 &\implies \color{red}{g(x,y) = 0}
\end{align*}$$`

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# Solución al problema del consumidor

El Lagrangiano del problema del consumidor es:

`$$\mathcal{L}(c_1, c_2, \lambda) = \theta_1 \log c_{1} + \theta_2 \log c_{2} + \lambda (wL- p_{1}c_{1} - p_{2}c_2)$$`

Las CPO quedan de la siguiente forma:

`$$\begin{align*}
[c_{1}] = \frac{\partial \mathcal{L}(c_1, c_2, \lambda)}{\partial c_{1}} = 0 
&\implies \color{red}{\frac{\partial (\theta_{1}\log c_{1} + \theta_{2} \log c_{2})}{\partial c_{1}} + \lambda \frac{\partial (wL - p_{1}c_{1} - p_{2}c_{2})}{\partial c_{1}}} = 0 \\
[c_{2}] = \frac{\partial \mathcal{L}(c_1, c_2, \lambda)}{\partial c_{2}} = 0 
&\implies \color{red}{\frac{\partial (\theta_{1}\log c_{1} + \theta_{2} \log c_{2})}{\partial c_{2}} + \lambda \frac{\partial (wL - p_{1}c_{1} - p_{2}c_{2})}{\partial c_{2}}} = 0 \\
[\lambda] = \frac{\partial \mathcal{L}(c_{1}, c_{2}, \lambda)}{\partial \lambda} = 0 
&\implies \color{red}{wL - p_{1}c_{1} - p_{2}c_{2}} = 0
\end{align*}$$`

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# Solución al problema del consumidor

El Lagrangiano del problema del consumidor es:

`$$\mathcal{L}(c_1, c_2, \lambda) = \theta_1 \log c_{1} + \theta_2 \log c_{2} + \lambda (wL- p_{1}c_{1} - p_{2}c_2)$$`

Las CPO quedan de la siguiente forma:

`$$\begin{align*}
[c_{1}] = \frac{\partial \mathcal{L}(c_1, c_2, \lambda)}{\partial c_{1}} = 0 
&\implies \color{red}{\frac{\theta_{1}}{c_{1}} - \lambda p_{1} = 0} \\
[c_{2}] = \frac{\partial \mathcal{L}(c_1, c_2, \lambda)}{\partial c_{2}} = 0 
&\implies \color{red}{\frac{\theta_{2}}{c_{2}} - \lambda p_{2} = 0} \\
[\lambda] = \frac{\partial \mathcal{L}(c_{1}, c_{2}, \lambda)}{\partial \lambda} = 0 
&\implies \color{red}{wL - p_{1}c_{1} - p_{2}c_{2} = 0}
\end{align*}$$`

* Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas `${c_1, c_{2}, \lambda}$`

* El sistema está identificado, podemos encontrar una solución **única**.

* Nota: Para una solución única, no podemos tener que una ecuación sea una combinación de las otras dos.

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# Resolviendo el sistema de ecuaciones

Podemos reordenar el sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

`$$\begin{align*}
\color{red}{\frac{\theta_{1}}{c_{1}}} &= \color{red}{\lambda p_1} \\
\color{red}{\frac{\theta_{2}}{c_{2}}} &= \color{red}{\lambda p_{2}} \\
\color{red}{wL} &= \color{red}{p_1 c_{1} + p_{2} c_{2}}
\end{align*}$$`
Utilizando las primeras dos CPO, podemos encontrar el consumo relativo (`$\lambda$` desaparece):

`$$\color{red}{\frac{(\frac{\theta_{1}}{c_1})}{(\frac{\theta_{2}}{c_{2}})}=\frac{\lambda p_{1}}{\lambda p_2}} \implies \color{blue}{\frac{\theta_1 c_{2}}{\theta_{2}c_{1}} = \frac{p_1}{p_2}} \implies \color{purple} {c_2 = \frac{\theta_2 p_{1}}{\theta_{1}p_{2}}c_1}$$`

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# Solución al sistema de ecuaciones

Tomando las productividades relativas

`$$\color{purple}{c_{2} = \frac{\theta_{2}p_1}{\theta_1 p_2}c_1}$$`
Combinando la ecuación anterior con la recta presupuestaria tenemos que:

`$$\color{red}{wL = p_{1} c_{1} + p_{2}}\left(\color{purple}{\frac{\theta_{2}p_1}{\theta_1 p_2}c_1}\right) \implies \color{red}{wL = p_1 c_1 +} \left( \color{purple}{\frac{\theta_2}{\theta_1}p_1 c_1}\right)$$`
Reordenando para `$c_1$` tenemos:

`$$\color{red}{c_1 = \frac{wL}{p_1}\left(\frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_2}\right)}$$`
Podemos hacer algo parecido para encontrar `$c_{2}$`.

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# Solucion al problema del consumidor

`$$\begin{align*}
&\color{red}{c_1 = \frac{wL}{p_1} \left( \frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_2} \right)} \\
&\color{red}{c_2 = \frac{wL}{p_2} \left( \frac{\theta_2}{\theta_1 + \theta_2} \right)}
\end{align*}$$`
Nota: Las preferencias de tipo Cobb-Douglas implican que los gastos son constantes y proporcionales en ambos bienes:

`$$\frac{p_1 c_1 }{wL} = \left( \frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_2} \right)$$`
* El consumo del bien 1 no depende del precio del bien 2

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# Solución al problema de las empresas

Las empresas que producen `$m$` resuelven:

`$$\begin{align*}
 \max_{[y_m, l_m]} \quad & p_{m} y_{m} - w_{m} l_{m}\\
 \text{sujeto a} \quad & y_{m} = \frac{1}{a_m}l_m 
\end{align*}$$`

Aquí no necesitamos un Lagrangiano: 
  - Sustituimos la función de producción en lugar de la producción en el problema de optimización. 
  - Hacemos esto porque sabemos `$l_m \implies$` sabemos `$y_m$`. 
  - Si hacemos el Lagrangiano llegamos al mismo resultado.

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# Solución al problema de las empresas

Las empresas que producen `$m$` resuelven:

`$$\begin{align*}
 \max_{[l_m]} \quad & p_{m} \color{red}{\left(\frac{1}{a_m}l_m \right)} - w_{m} l_{m}\\
 \text{sujeto a} \quad & y_{m} = \frac{1}{a_m}l_m 
\end{align*}$$`

Tomando la primera derivada parcial (CPO):

`$$[l_m] = \frac{\color{red}{\partial \left( p_m \left(\frac{1}{a_m}l_m \right) - w_m l_m \right)}}{\color{red}{\partial l_m}} = 0 
\implies 
\color{red}{
\overbrace{\frac{p_m}{a_m}}^{\text{Ingreso marginal}} 
= 
\overbrace{w}^{\text{Costo marginal}}
}$$`
  .red[Importante: Esto solo funciona para soluciones interiores] (`$\color{red}{l_{m}>0}$`). Necesitamos más información para una solución de esquina (`$l_{m}=0$`)].

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# Solución al problema de las empresas

**Solución interior**

* Si `$l_m > 0$` debemos tener que `$\color{red}{\frac{p_m}{a_m} = w}$` en equilibrio.

**Solución de esquina**

* Las empresas no escogen precios. ¿Qué pasa si `$\color{red}{\frac{p_m}{a_m}<w}$`?
 - Las empresas no producirán `$m$` en equilibrio.
 - Sea `$\pi_m (l_m)$` la función que representa los beneficios de la empresa `$m$` cuando utiliza `$l_m$` unidades de trabajo: 
 
 `$$\color{red}{\pi_m (l_m) = \overbrace{\left(\frac{p_m}{a_m}-w \right)}^{\text{Negativo}}l_m}$$`; maximizada en `$\color{red}{\pi_m(0) = 0}$`
 
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# Solución al problema de las empresas

**Solución interior**

* Si `$l_m > 0$` debemos tener que `$\color{red}{\frac{p_m}{a_m} = w}$` en equilibrio.

**Solución de esquina**

* Las empresas no escogen precios. ¿Qué pasa si `$\color{red}{\frac{p_m}{a_m}>w}$`?
  - Nunca sucederá en equilibrio

`$$\color{red}{\pi_m (l_m) = \overbrace{\left(\frac{p_m}{a_m}-w \right)}^{\text{Positivo}}l_m}$$`; maximizada en `$\color{red}{\pi_m(\infty) = \infty}$`
  
* Las empresaas producirán infinitamente y los precios nunca se ajustarán. 
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# Solución de equilibrio

**Incognitas de equilibrio**: precios `$\{p_1, p_2\}$`, salarios `$\{w_1, w_2\}$`, y asignaciones `$\{c,l,y\}_{i \in \{D,E\}}$`

**Ecuaciones de equilibrio**: 
  - Optimización del consumo en cada país, `$i = D,E$`

`$$\color{red}{c_{1}^{i} = \frac{w^{i}L^{i}}{p_1} \left( \frac{\theta_{1}}{\theta_{1} + \theta_{2}} \right) ; c_{2}^{i} = \frac{w^{i}L^{i}}{p_{2}} \left( \frac{\theta_{2}}{\theta_{1}+ \theta_{2}}\right)}$$`
  - Optimización de la producción en cada país `$i = D,E$`, para cada bien, `$m=1,2$`
  
  `$$\color{red}{\frac{p_m}{a_{m}^{i}}, \text{  si  } l_{m}^{i}>0}$$`
  
  Con función de producción: `$\color{red}{y_{m}^{i}=\frac{1}{a_{m}}l_{m}^{i}}$`
  - Los mercados de trabajo y bienes se vacían. 
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# Solución del equilibrio en autarquía

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# Solución del modelo en autarquía

Para encontrar la solución de equilibrio en autarquía debemos encontrar los precios `$\{p_1, p_2\}$`, salarios `$\{w\}$` y asignaciones, `$\{c_1, c_2, l_1, l_2; y_1, y_2\}$` tales que:

* Las condiciones de optimización de los consumidores se mantengan: 
`$$\color{red}{c_{1} = \frac{wL}{p_1} \left( \frac{\theta_{1}}{\theta_{1} + \theta_{2}} \right) ; c_{2} = \frac{wL}{p_{2}} \left( \frac{\theta_{2}}{\theta_{1}+ \theta_{2}}\right)}$$`

* Las empresas optimicen la producción de los bienes `$m=1,2$`:

`$$\color{red}{\frac{p_m}{a_m} = w, \text{   si   } l_m > 0}$$`
* Los mercados se vacían: `$l_1+l_2=L$` y `$c_1=y_1, c_2=y_2$`
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# Solución del equilibrio (autarquía)

**Paso 1:** Utilizar la condición de vaciado de mercado de bienes (`$\color{red}{y_m=c_m}$`)  y los precios de equilibrio (`$\color{red}{w=p_m/a_m}$`) de las empresas en la ecuación de los consumidores.

`$$\color{red}{y_1} = \frac{\color{red}{(p_1/a_1)}L}{p_1} \left( \frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_2}\right); \color{red}{y_2}=\frac{\color{red}{(p_2/a_2)}L}{p_2}\left(\frac{\theta_2}{\theta_1 + \theta_2} \right)$$`

Haciendo un poco de algebra (precios) encontramos las **asignaciones para los bienes**:

`$$\color{red}{y_1 = \frac{1}{a_1}L\left( \frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_{2}}\right)};  \color{red}{ y_2 = \frac{1}{a_2}L \left(\frac{\theta_2}{\theta_1 + \theta_2}\right)}$$`

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# Solución del equilibrio (autarquía)

**Paso 2:** Insertar la asignación de bienes en la **función de producción** para encontrar la demanda de trabajo:

`$$l_m =a_m\color{red}{\left(\frac{1}{a_1}L \left(\frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_2}\right)\right)} \implies \color{red}{l_m = L\left( \frac{\theta_1}{\theta_1 + \theta_2}\right)}, m = 1,2$$`

**Paso 3:** Cuando calculamos los **precios**, solo importan los precios .hi-pink[relativos]. Ya conocemos los precios relativos (bienes respecto al salario) de las CPO:

$$ \color{red}{\frac{p_m}{w}=a_m}, m = 1,2  $$
Terminamos. No necesitamos saber `$w$`, toda vez que `$w/w=1$`. Normalmente normalizamos `$w=1$` para ordenar los resultados

`$$\color{red}{w = 1, p_1 = a_1, p_2 = a_2}$$`

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# Equilibrio en autarquía

* Hasta aquí hemos aprendido a resolver el modelo más sencillo.

* Aprendimos algunas cosas sobre los supuestos del modelo: 
  - Preferencias Cobb-Douglas `$\implies$` proporción constante en el gasto. La asignación de trabajo no depende de la productividad del bien. 
  - Solo importan los .hi-pink[precios relativos]. Reducimos los objetos a encontrar en el equilibrio al normalizar `$w=1$`. 
  - **Ley de Walras** (de forma general): en los modelos de equilibrio general, si se cumplen todas las restricciones de equilibrio menos una, entonces la última se cumple automáticamente.
  - Nota que no hemos utilizado la condición de vaciado del mercado de trabajo. 
  - Podemos sustituir el vaciado del mercado por otra condición y llegamos al mismo resultado.

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# Solución del equilibrio: Libre comercio

* El cambio más importante está en la condición de vaciado de los mercados.

* Existen múltiples resultados potenciales (un país se especializa, ambos se especializan)

* Dos supuestos hacen las cosas más sencillas: 
 1. Supongamos que `$a_{1}^{D}/a_{2}^{D} < a_{1}^{E}/a_{2}^{E}$`. El país **doméstico** tiene ventaja comparativa en producir el .blue[Bien 1]. 
 
 2. Supongamos que en el equilibrio existe especialización completa. 
 
¿Cómo sabemos que el segundo supuesto se cumple? .hi-pink[No sabemos]. Podemos utilizar este supuesto y revisar si funciona.

* Si el supuesto no es válido vamos a encontrar valores negativos en precios o cantidades.

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# Discusión sobre los supuestos

* En economía, es muy importante entender los supuestos de cada modelo que estudiemos.

* ¿Qué otros supuestos estamos haciendo y por qué? 
  - .hi-pink[Los países tienen las mismas preferencias].
  - .hi-pink[Se producen y consumen únicamente dos bienes].
  - .hi-red[Existen solo dos países].
  
* ¿Por qué lo hacemos?
   - Hace la notación y el álgebra más sencilla. 
   - Cada país tiene el mismo conjunto relativo de bienes de consumo.

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exclude: true